ಒಂದು ಅದ್ಭುತ ಗಣಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅವಳಿ ಮೂಲಗಳು- ಹೇಮಚಂದ್ರ-ಫಿಬೊನಾಚಿ ಅನುಕ್ರಮದ ಕಥೆ

ಲೇಖಕರು-
ಕೃಷ್ಣ ಚೈತನ್ಯ ಟಿ ಎಸ್,
ಗಣಿತ ಸಂವಹನಕಾರರು,ತುರುವೇಕೆರೆ

ಗಣಿತ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಅದ್ಭುತ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಸರ್ಗದ ಸೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಹಿಡಿದು ಹಣಕಾಸಿನ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳವರೆಗೆ ಇದರ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಖ್ಯಾತಿಯು ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಆಫ್ ಪಿಸಾ, ಅಂದರೆ ಫಿಬೊನಾಚಿ, ಮತ್ತು ಅವರ 1202 ರ ಕೃತಿ ‘ಲಿಬರ್ ಅಬಾಸಿ’ ಯೊಂದಿಗೆ ತಳುಕು ಹಾಕಿಕೊಂಡಿದೆ. ಆದರೆ, ಇತಿಹಾಸದ ಆಳವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಈ ಗಣಿತ ಶ್ರೇಣಿಯು ಭಾರತದಲ್ಲಿ ನೂರಾರು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆಯೇ, ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ ಸಂಸ್ಕೃತ ಕಾವ್ಯದ ಛಂದಸ್ಸಿನ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಅನುಕ್ರಮ: ಗಣಿತದ ಒಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಪರಿಚಯ

ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೂಲ ತತ್ವ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು. ಇದರ ಸೂತ್ರವನ್ನು F_n=F_n-1– F_n-2 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಈ ಅನುಕ್ರಮವು 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಈ ಸರಳವಾದ ನಿಯಮವು ನಂಬಲಾಗದಷ್ಟು ಆಳವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸತತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಪಾತವು (ಉದಾ. 21/13, 34/21) ಮುಂದೆ ಸಾಗಿದಂತೆ ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತ ( φ\approx 1.61803) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅದ್ಭುತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಕೇವಲ ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಲ್ಲ. ಇದು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಮರಗಳ ಕೊಂಬೆಗಳು ಬೆಳೆಯುವ ರೀತಿ, ಒಂದು ಕಾಂಡದ ಮೇಲೆ ಎಲೆಗಳು ಜೋಡಣೆಯಾಗಿರುವ ವಿಧಾನ, ಹೂವುಗಳಲ್ಲಿನ ದಳಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಹೆಚ್ಚು ಹೂವುಗಳು 3, 5, 8, 13, 21 ದಳಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ), ಸೂರ್ಯಕಾಂತಿ ಹೂವಿನಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಳು ಸುರುಳಿಯಾಕಾರವಾಗಿ ಜೋಡಣೆಯಾಗಿರುವ ರೀತಿ – ಇವೆಲ್ಲವೂ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಈ ಗಣಿತದ ತತ್ವವು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ನಕಾಶೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಭಾರತೀಯ ಮೂಲಗಳು: ಛಂದಸ್ಸಿನಿಂದ ಗಣಿತದವರೆಗೆ

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಬೆಳಕಿಗೆ ಬರುವ ನೂರಾರು ವರ್ಷಗಳ ಮೊದಲೇ, ಪುರಾತನ ಭಾರತದ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಛಂದಸ್ಸಿನ ವಿದ್ವಾಂಸರು ಇದನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿದ್ದರು. ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಆವಿಷ್ಕಾರವು ಸಂಸ್ಕೃತ ಛಂದಸ್ಸು, ಅಂದರೆ ಕಾವ್ಯದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಸಂಭವಿಸಿತು. ಸಂಸ್ಕೃತ ಛಂದಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಅಕ್ಷರಗಳ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಧದ ಅಕ್ಷರಗಳಿವೆ: ಒಂದು ಮಾತ್ರೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅಕ್ಷರ (ಲಘು) ಮತ್ತು ಎರಡು ಮಾತ್ರೆಗಳ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರ (ಗುರು). ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದ್ದದ (ಉದಾ. 5) ಸಾಲನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ರಚಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡುವ ಸವಾಲೇ ಈ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು.

ಪಿಂಗಲ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 200 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೂ ಮೊದಲು): ಪಿಂಗಲರು ತಮ್ಮ ‘ಛಂದಃಶಾಸ್ತ್ರ’ದಲ್ಲಿ ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದರು. ಅವರು ಛಂದಸ್ಸಿನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದು 1, 1, 2, 3, 5, 8, … ಎಂಬ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿತು. ಇದು ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯಶಃ ವಿಶ್ವದ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿದೆ.

 ವಿರಹಂಕ (ಕ್ರಿ.ಶ. 6-7ನೇ ಶತಮಾನ): ಪಿಂಗಲರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ವಿರಹಂಕರರು ಈ ಗಣಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮೊದಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದರು. ಅವರು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದ್ದದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಉದ್ದಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು. ಇದು ಫಿಬೊನಾಚಿಯ ಕೆಲಸಕ್ಕಿಂತ ಸುಮಾರು 600 ವರ್ಷಗಳಷ್ಟು ಹಿಂದಿನದು!

 ಆಚಾರ್ಯ ಹೇಮಚಂದ್ರ (ಕ್ರಿ.ಶ. 1150): ಜೈನ ವಿದ್ವಾಂಸರಾದ ಹೇಮಚಂದ್ರರು ತಮ್ಮ ಗ್ರಂಥಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದರು. ಅವರು ತಮ್ಮ ಹಿಂದಿನವರಾದ ಗೋಪಾಲ ಮತ್ತು ವಿರಹಂಕರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಹೇಮಚಂದ್ರರ ಈ ಸ್ಪಷ್ಟ ದಾಖಲಾತಿಯು ಅನೇಕ ಆಧುನಿಕ ವಿದ್ವಾಂಸರು ಈ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ “ಹೇಮಚಂದ್ರ ಅನುಕ್ರಮ” ಎಂದು ಮರುನಾಮಕರಣ ಮಾಡಲು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿದೆ.

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಮತ್ತು ಪಶ್ಚಿಮಕ್ಕೆ ಇದರ ಪರಿಚಯ

13ನೇ ಶತಮಾನದ ಯುರೋಪ್ ಗಣಿತದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹಿಂದುಳಿದಿತ್ತು. ರೋಮನ್ ಅಂಕಿಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಗಣನೆಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಇಂತಹ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಫಿಬೊನಾಚಿ ತಮ್ಮ ಮಧ್ಯಪ್ರಾಚ್ಯ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ ಆಫ್ರಿಕಾ ಪ್ರಯಾಣಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಭಾರತೀಯ-ಅರಬಿಕ್ ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಕಲಿತುಕೊಂಡರು. ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅರಬ್ ವಿದ್ವಾಂಸರು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡು ಯುರೋಪಿಗೆ ತಂದರು. ಫಿಬೊನಾಚಿಯವರು ಈ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಯುರೋಪಿಗೆ ‘ಲಿಬರ್ ಅಬಾಸಿ’ ಮೂಲಕ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು.

ಈ ಗಣಿತ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಯುರೋಪಿಯನ್ ಜನರಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಲು, ಫಿಬೊನಾಚಿ ಒಂದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಆಕರ್ಷಕ ಕಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ‘ಮೊಲಗಳ ಸಮಸ್ಯೆ‘. ಒಂದು ಜೋಡಿ ಮೊಲಗಳಿಂದ ಒಂದು ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಮೊಲಗಳು ಹುಟ್ಟುತ್ತವೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವ ಕಲ್ಪಿತ ಕಥೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೂಲಕವೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿತ್ತು. ಇದು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿದ್ದ ಕಾರಣ, ಯುರೋಪಿನಲ್ಲಿ ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಬಹುಬೇಗ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಯಿತು.

ಜ್ಞಾನದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆ ಮತ್ತು ಇತಿಹಾಸದ ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತ

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಇಂದು ಈ ಹೆಸರಿನಿಂದಲೇ ಕರೆಯುವುದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಕಾರಣವಿದೆ: 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಲೂಕಾಸ್ ಇದನ್ನು ಪ್ರಚುರಪಡಿಸಿದರು. ಆ ಸಮಯಕ್ಕೆ, ಯುರೋಪಿನ ಗಣಿತೀಯ ಪ್ರಾಬಲ್ಯವು ಸ್ಥಾಪಿತವಾಗಿತ್ತು. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಐರೋಪ್ಯ ವಿದ್ವಾಂಸರು ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಅವರದೇ ಹೆಸರು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅಂಟಿಕೊಂಡಿತು. ಇದು ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಮರೆಮಾಚಿದಂತಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತವಾಗಿ ನೋಡಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಒಂದೇ ಗಣಿತದ ತತ್ವ  ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ನಾಗರಿಕತೆಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ (ಸಂಸ್ಕೃತ ಛಂದಸ್ಸು ಮತ್ತು ಮೊಲಗಳ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ) ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಂಡುಬಂದಿರುವುದು, ಅದರ ಆಳವಾದ, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸ್ವರೂಪಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ. ಫಿಬೊನಾಚಿ ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ, ಅವರು ಅದನ್ನು ಯುರೋಪಿಗೆ ತಲುಪಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸೇತುವೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಅದ್ಭುತ ಗಣಿತ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಅದರ ಎರಡೂ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಗೌರವಿಸಿ, ಹೇಮಚಂದ್ರ-ಫಿಬೊನಾಚಿ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದು ಒಂದು ಸಮಗ್ರ ಮತ್ತು ನ್ಯಾಯಯುತವಾದ ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿದೆ.

ಇದು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನದ ಇತಿಹಾಸವು ಕೇವಲ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿ ಅಥವಾ ಒಂದು ನಾಗರಿಕತೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಅದು ಜಾಗತಿಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾದ ಜ್ಞಾನದ ವಿನಿಮಯದ (ಜ್ಞಾನದ ಹರಿವಿಗೆ) ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾರುತ್ತದೆ.